递归和分治思想及其应用

发布时间：2017-06-19 16:45:56.743 作者： IT网络文摘 (该文来自笔记，点击查看原文)

递归和分治思想

如果可以使用迭代，尽量别使用递归。由编译原理可以知道，每次自调用的时候，计算机都需要保存在调用，浪费时间空间。当然，迭代是当我们知道循环次数的时候。而当我们不知道循环次数，比如说对于文件夹和文件进行遍历，不知道深度的情况下，我们就需要递归来实现。

显然，递归是先解决小的问题，这种思想是分治思想。根据具体需求，来决定是否使用递归。

递归要注意：

结构是选择结构，而迭代是循环结构
必须有基线条件和递归条件，防止出现死循环
如果知道循环次数的话，尽量使用递归
对于某些编程式函数，有对于尾递归的迭代优化
递归逻辑更容易理解

一些实例

逆序输出字符串

#include<iostream>using namespace std;void print(){    char a;    cin>>a;    if(a!='#') print(); // 不是停止符，先自调用 
    if(a!='#') cout<<a; //在回来的时候，打印自己的字符 }int main(){
    print();    return 0;
}

查找数组元祖是否存在

很多时候我们需要查找一个数组中是否有一个元素。如果使用迭代，肯定十分简单，时间复杂度为O(n)。

此时，如果使用分而治之的思想，我们可以使用二分法来进行查找。不论多大的数据，时间复杂度显著降低为O(log_2 n)。也就是说一个大小为123456789的数组，使用迭代，我们需要123456789个时间单位。但是二分法只需要27次。

实现思路：

首先转化的思想对数组进行排序。如果不排序，那么low和high就没有意义了。
再用迭代进行二分

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int SIZE = 5;const int NONE = -1;//二分查找并且返回element的位置，没查找到则返回NONEtemplate<class T>int BinFind(T *arr,int low,int high,T elem){  
    int mid;    if(low>high)        return NONE;    else{
        mid = (low+high)/2;        if(arr[mid] == elem)            return mid;        else if(elem>arr[mid])            return BinFind(arr,mid+1,high,elem);        else
            return BinFind(arr,low,mid-1,elem);
    }
}int main(){    int *arr = new int [SIZE];    cout<<"请输入"<<SIZE<<"个数据："; 
    for(int i=0;i<SIZE;++i)        cin>>arr[i];
    sort(arr,arr+SIZE);    int elem;    cout<<"输入您要查找的数据："<<endl;    cin>>elem; 
    int index = BinFind(arr,0,SIZE-1,elem);    if (index+1)        cout<<"含有这个数据\n";    else
        cout<<"不含有这个数据";    return 0;
}

汉诺塔问题

首先我们假设需要移动64层，那么思路如下（附截图）：

电脑培训,计算机培训,平面设计培训,网页设计培训,美工培训,Web培训,Web前端开发培训

此时，需要解决两个问题（附截图）：

电脑培训,计算机培训,平面设计培训,网页设计培训,美工培训,Web培训,Web前端开发培训

一直这样类推，知道最后从begin(开始柱子)->end(目标柱子)。

按照第一张截图，我们可以写出来函数里面else的递归部分。并且，每次输出的时候，就对应着思路里面的移动（而不是分治），此时step步数需要加+。

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;void Hanoi(int num,char begin,char by,char end,int &step){    if(num==1){        cout<<begin<<"-->"<<end<<endl;
        ++step;
    }    else{
        Hanoi(num-1,begin,end,by,step);        cout<<begin<<"-->"<<end<<endl;
        ++step;
        Hanoi(num-1,by,begin,end,step);
    }
}int main(){    int step = 0;    int num;    cout<<"汉诺塔层数是: ";    cin>>num;
    Hanoi(num,'X','Y','Z',step);    cout<<"一共有："<<step<<"步数"<<endl; 
    return 0;
}

八皇后问题

在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。正规的方法是递归，如果不考虑效率，这里采用递归实现。假设从第一行开始，每一行都找到符合条件的一个位置，而条件就是新的一行的新位置符合要求，以此类推，就可以写出来递归函数。

#include<iostream>using namespace std;const int Q_NUM = 8;int queens[Q_NUM][Q_NUM] = {0};int RESULT = 0;void print(){    for(int i=0;i<Q_NUM;++i){        for (int j=0;j<Q_NUM;++j)            cout<<queens[i][j]<<" ";        cout<<endl;
    }    cout<<endl<<endl;
}bool IfQueen(int row,int col){    if(row==0){        //当第一行时候，随便摆放 
        queens[row][col] = 1;        return true;
    }    /**************其他时候，需要考虑上面的同一列、左上角斜线、右上角斜线，以下分别实现*****/ 
    for(int i=0;i<row;++i)        if(queens[i][col]==1)            return false;    
    for (int i=row-1,j = col-1;i>=0 && j>=0;--i,--j)        if(queens[i][j]==1)            return false;    
    for(int i=row-1,j=col+1;i>=0 && j<Q_NUM;--i,++j)        if(queens[i][j]==1)            return false;    
    /******当所有情况都满足********/
    queens[row][col] = 1;    return true;
}void Queen(int row){    if(row==Q_NUM){ //注意row是从0开始到Q_NUM-1结束。这样当row==Q_NUM时，已经排完所有情况 
        ++RESULT;   //这样当row==Q_NUM时，已经排完所有情况，进行输出就可以了。 
        print();        return ;
    } 
    for(int i=0;i<Q_NUM;++i){ //i代表列数 
        if(IfQueen(row,i)) //如果row行i列可以放得话，判断下一行 
            Queen(row+1);
        queens[row][i] = 0; //重置为0，防止下次结果干扰 
    }
}int main(){
    Queen(0);    cout<<"一共"<<RESULT<<"种摆法\n";    return 0;
}

毫无疑问，递归以及分治思想还有很多用法：斐波那契数列、快速排序、文件查找、字典树的建立等等。理论上递归可以解决任何问题，而作为我们只需要提供思路，其他的交给计算机解决。所以听人说过计算机最适合解决递归问题。但是，有利有弊，递归同样会消耗更多的内存。在初步实现阶段，将大问题分而治之，分装成递归函数，还是逻辑代码化的最佳表达。

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