数据结构3——浅谈zkw线段树

发布时间：2017-07-25 17:12:04.977 作者： IT网络文摘 (该文来自笔记，点击查看原文)

　线段树是所有数据结构中，最常用的之一。线段树的功能多样，既可以代替树状数组完成“区间和”查询，也可以完成一些所谓“动态RMQ”（可修改的区间最值问题）的操作。其中，它们大部分都是由递归实现的，因此就有一些问题——栈空间占用大和常数大。

　　因此，从中便衍生了一种非递归式的线段树（作者是THU的张昆玮，参见他自己的PPT讲稿《统计的力量-线段树》），命名为zkw线段树。

　　以下内容均用zkw线段树保存区间最大值作为演示。

1、建树

iOS培训,Swift培训,苹果开发培训,移动开发培训

　　我们可以先观察左边面这张图。这张图本来是一张堆式的树形图，这里把它转化成了二进制。从中，我们可以发现最底层的节点舍去最低位，也就是说向右移一位之后，就变成了他们的父节点。同理，第二层中的结点也可以通过相同的方式变成根节点。

　　因此，我们在构建这棵树时，就可以利用计算机的二进制建树，达到快速简单的目的。（不知道大家有没有听说过一句话，写程序要保持短而简单——Keep it short ans simple，KISS）。

　　zkw线段树的操作几乎没有出现递归，而是用循环代替。例如建树操作（d数组存储数值）：

void build(int n)
{    for(bit=1;bit<=n+1;bit<<=1);    for(int i=bit+1;i<=bit+n;i++)
        scanf("%d",&d[i]);    for(int i=bit-1;i;i--)
        d[i]=max(d[i<<1],d[i<<1|1]);        //i<<1|1 = (i<<1)+1 = 2*i+1}

（这里解释一下，bit表示非叶子节点，即倒二层及以上的节点数，每个节点保存的是它的值，如：和，最大值，最小值……）

　　而普通的线段树建树则类似于（代码来自这里）：

struct SegTreeNode
{    int val;
}segTree[MAXNUM];//定义线段树void build(int root, int arr[], int istart, int iend)
{    if(istart == iend)//叶子节点
        segTree[root].val = arr[istart];    else
    {        int mid = (istart + iend) / 2;
        build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树
        build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树        //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值
        segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
    }
}

　　很简单的例子，说明了zkw线段树不仅不需要递归，而且在代码上也更简洁。

2、普通操作

　　既然是线段树，那么就肯定能完成修改与查询操作。

2.1 单点修改——二进制思想的运用

　　单点修改也不难，他的思想就是先把叶节点修改，然后依次维护父节点（把所有和它有关的的修改掉）。例如这样：

void update(int x,int y)
{    for(d[x+=bit]=y,x>>=1;x;x>>=1)
        d[x]=max(d[x<<1],d[x<<1|1]);
}

　　这个代码就更为简短了（这里就不拿出来对比了）。

　　当然，如果不是整个修改，而是加上或减去某数，只需要将for循环中的 d[x+=bit]=y 改为 d[x+=bit]+=y 即可（这里统一用整体修改作示范，下同）。

2.2 单点查询——最简单的查询

　　假设数组中有 x 个元素，二叉树层数为 m，那么这 x 个元素在这个满二叉树中的编号就是和之间，即第x个元素就是，访问起来很方便。

2.3 区间查询——单点查询的升级版

　　区间查询也不难，规律同上，这里就直接上代码。

int query(int s,int t)
{    int ans=-1;    for(s+=bit-1,t+=bit+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1)
    {        if(~s&1)
            ans=max(ans,d[s^1]);        if(t&1)
            ans=max(ans,d[t^1]);
    }    return ans;
}

2.4 区间修改——差分思想

　　区间修改这时候看起来就很难办了……呃，怎么办呢？？

　　经过作者一个中午的实验，发现，用上述代码的思想似乎较难完成O( n)级别的区间修改。这时候，翻开zkw神犇PPT讲稿，发现……原来，可以用差分的思想。

3、差分思想

差分？

　　差分是化绝对为相对的重要手段。我们接下来，数组里的d值就不在存最大值了，而是另外开个数组m，存，让每一个结点的值都是存他与他父亲结点的差值。

有什么用吗？

　　当然有（不然说了干什么）！这时候，我们进行区间修改，就只需要修改的值。

　　这时候查询可以完成吗？可以。

　　单点查询就是在m数组中，从要查的结点一直查到根结点，再加上d数组的值，就可以找到答案（这个应该很好理解吧）。

小插曲

　　然后，我们在写代码的时候会发现，如果我们把d数组初始化为0的话，那么所有的修改都记在数组m中，d数组的值会变吗？不会。

　　因此，我们干脆连值也不存了，把差分的“标记”直接当作值。于是，基本的差分思想就出来了。

　　不过，值得一提的是，在常数上，差分的写法可能更大一些（不一定会明显优于递归版的普通线段树）。

3.1 差分思想与建树

这时候，每个点就像前面说的，存差就好了。代码如下，应该很好理解：

void build(int n)
{    for(bit=1;bit<=n+1;bit<<=1);    for(int i=bit+1;i<=bit+n;i++)
        scanf("%d",&d[i]);    for(int i=bit-1;i;i--)
    {
        d[i]=min(d[i<<1],d[i<<1|1]);
        d[i<<1]-=d[i];d[i<<1|1]-=d[i];
    }
}

3.2 差分思想与单点修改

　　你当然可以尝试区间修改，然后用像 query(1,1,x) 这样的方法修改。

不过完全没有这个必要。

void update(int s,int t,int x)
{    int tmp;    for(d[s]+=x;s>1;s>>=1)
    {
        tmp=max(d[s],d[s^1]);d[s]-=tmp;d[s^1]-=tmp;d[s>>1]+=tmp;
        s>>=1;
    }        
}

3.3差分思想与单点查询

　　不得不承认，差分思想的运用，唯一一个不好的地方就是单点查询从O(1)变为了O( n)，但是他可以帮助我们完成区间修改的操作，因此也只好忍受一下了。

因为差分存储方式的运用，相应的，这时候的代码就成了这样：

void query(int x)
{  
    int res=0;    while(x)
        res+=d[x],x>>=1;    return res;  
}

3.4差分思想与区间修改

就为了这个区间查询，我们几乎把内容翻了一倍——讲差分存储方式。而这种方式就是能够让我们完成区间修改。修改方式在上面介绍差分作用时提过了，这里就不在赘述了。代码：

void update(int s,int t,int x)
{    int tmp;    for(s+=bit-1,t+=bit+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1)
    {        if(~s&1)
            d[s^1]=x;        if(t&1)
            d[t^1]=x;
        tmp=min(d[s],d[s^1]);d[s]-=tmp;d[s^1]-=tmp;d[s>>1]+=tmp;
        tmp=min(d[t],d[t^1]);d[t]-=tmp;d[t^1]-=tmp;d[t>>1]+=tmp;
    }    while(s>1)
    {
        tmp=min(d[s],d[s^1]);d[s]-=tmp;d[s^1]-=tmp;d[s>>=1]+=tmp;
    }
}

3.5差分思想与区间查询

区间查询？其实和之前没用差分的差不多，只是把它求出来之后，再把值依层还原回去。

int query(int s,int t)
{    int lans=-1,rans=-1,ans=-1;    for(s+=bit-1,t+=bit+1;s^1^1;s>>=1,t>>=1)
    {
        lans+=d[s];rans+=d[t];        if(~s&1)
            lans=max(lans,d[s^1]);        if(t&1)
            rans=max(rans,d[t^1]);
    }    for(ans=max(lans,rans);s>1;)
        ans+=d[s>>=1];    return ans;
}

至此，zkw线段树的基本操作到这里就讲完了。让我们回顾一下，zkw线段树的优点不仅在于常数小，空间小（对于一般情况下的写法），而且好写好调，是一种优秀的数据结构。它的本质是非递归式线段树。希望这篇博客的内容对大家有帮助，满意请在右下方点个赞，谢谢。

http://www.cnblogs.com/frankchenfu/p/7132445.html

分类导航